Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2x+5，令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）
（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=﹣x2+2x+5，

∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x2﹣2ax﹣5的图像是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，

若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，

则a≤0

（2）解：∵g（x）=x2﹣2ax﹣5的图像是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，

若a＜0，则当x=0时，函数g（x）取最小值﹣5，

若0≤a≤2，则当x=a时，函数g（x）取最小值﹣a2﹣5，

若a＞2，则当x=2时，函数g（x）取最小值﹣4a﹣15，

综上所述：g（x）min=

【解析】g（x）=x2﹣2ax﹣5的图像是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，则a≤0； （2）分类讨论给定区间与对称轴x=a的关系，结合二次函数的图像和性质，可得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．