Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面， ， ，且， ， .

（1）求证： ；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在， .

【解析】试题分析：（1）根据已知条件先证平面，再根据线面垂直的性质，可证线线垂直；

（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，设点的坐标，进而可得平面，平面的法向量，以及B，根据线面角的定义可以求得BM与平面MAC所成的角的正弦值.

试题解析（1）证明：如图，由已知得四边形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，则，又，所以平面，

所以.

（2）存在，观察图形特点，点可能是线段的一个三等分点（靠近点），下面证明当是线段的三等分点时，二面角的大小为，过点作于，则，则平面.

过点作于，连接，

则是二面角的平面角，

因为是线段的一个三等分点（靠近点），则，

在四边形中求得，则，

所以当是线段的一个靠近点的三等分点时，二面角的大小为，

在三棱锥中，可得，设点到平面的距离是，

，

则，解得，

在中，可得，

设与平面所成的角为，则，

所以与平面所成的角为.