Question

若对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  8

  ，+∞）
• B、[

  25-8ln2

  16

  ，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，

  5

  4

  ]
• D、[-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：由x₁＞0，4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化为8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，利用导数可得其最大值．令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，则对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立?g（x）_max≥f（x）_max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．

解答： 解：∵x₁＞0，∴4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化为8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，
令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，
f′（x）=1-

4

x

+

3

x2

=

(x-1)(x-3)

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．
令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，
∵对?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，
∴g（x）_max≥f（x）_max．
g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①当a≥-1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥-

1

8

，满足条件．
②当-2＜a＜-1时，g′（x）=8[x-（-a）]，可得当x=-a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③当a≤-2时，经过验证，也不符合条件，舍去．
综上可得：a的取值范围是[-

1

8

，+∞)．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．