Question

已知α∈(

π

2

，π)，且sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，
（1）求cosα的值；
（2）若sin(α-β)=-

3

5

，β∈(

π

2

，π)，求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件平方可得sinα=

1

2

，再由已知α∈(

π

2

，π)，可得cosα的值．
（2）由条件可得-

π

2

＜α-β＜

π

2

，cos（α-β）=

4

5

，再根据cosβ=cos（-β）=cos[（α-β ）-α]，利用两角
和差的余弦公式，运算求得结果．

解答：解：（1）由sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，平方可得1+sinα=

3

2

，解得sinα=

1

2

．
再由已知α∈(

π

2

，π)，可得 α=

5π

6

，∴cosα=-

3

2

．
（2）∵sin(α-β)=-

3

5

，β∈(

π

2

，π)，∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

，cos（α-β）=

4

5

．
∴cosβ=cos（-β）=cos[（α-β ）-α]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα 
=

4

5

×(-

3

2

)+

1

2

×(-

3

5

)=-

3+4 3

10

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．