Question

已知函数f（x）=

3x

ax+b

，f（1）=1，f（

1

2

）=

3

4

，数列{x_n}满足x₁=

3

2

，x_n+1=f（x_n）．
（1）求x₂，x₃的值；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）证明：

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知求出a=2，b=1，从而得到f(x)=

3x

2x+1

，由此利用递推思想能求出x₂，x₃的值．
（2）猜想x_n=

3n

3n-1

．再用数学归纳法进行证明，能求出数列{x_n}的通项公式．
（3）由

xn

3n

=

1

3n-1

≤

1

3n-1•2

，得到

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

1

2

(

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

)，由此能证明

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

解答： （1）解：∵f（x）=

3x

ax+b

，f（1）=1，f（

1

2

）=

3

4

，
∴

3 a+b =1 3× 1 2 1 2 a+b = 3 4

，解得a=2，b=1，
∴f(x)=

3x

2x+1

，
∵数列{x_n}满足x₁=

3

2

，x_n+1=f（x_n），
∴x₂=f（

3

2

）=

3× 3 2

2× 3 2 +1

=

9

8

，
x₃=f（

9

8

）=

3× 9 8

2× 9 8 +1

=

27

26

．
（2）解：由（1）猜想x_n=

3n

3n-1

．
用数学归纳法证明：
①n=1时，x₁=

3

3-1

=

3

2

，成立．
②假设n=k时成立，即xk=

3k

3k-1

，
则x_k+1=f（x_k）=

3× 3k 3k-1

2× 3k 3k-1 -1

=

3k+1

3k+1-1

，也成立，
由①②知x_n=

3n

3n-1

．
（3）证明：∵

xn

3n

=

1

3n-1

≤

1

3n-1•2

，
∴

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

1

2

(

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

)
=

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

4

（1-

1

3n

）＜

3

4

．
∴

x1

3

+

x2

32

+…+

xn

3n

＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归思想、函数思想的合理运用，解题时要注意数学归纳法的合理运用．