题目内容
已知函数f（x）=
，其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）= ．
| (x+1)2+sinx |
| x2+1 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：排列组合
分析：先化简，再设f（x）=1+g（x），g（x）=
，再求出导数，判断函数g（x）和f′（x）的奇偶性，根据奇偶性，问题得以解决．
| 2x+sinx |
| x2+1 |
解答：
解：∵函数f（x）=
=1+
，
设g（x）=
，
∴f′（x）=g′（x）=
，
∵g（-x）=-g（x），f′（-x）=f′（x），
∴f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=1+g（2015）+f′（2015）+1-g（2015）-f′（2015）=2．
故答案为：2．
| (x+1)2+sinx |
| x2+1 |
| 2x+sinx |
| x2+1 |
设g（x）=
| 2x+sinx |
| x2+1 |
∴f′（x）=g′（x）=
| 2-2x2+(x2+1)cosx-2xsinx |
| (x2+1)2 |
∵g（-x）=-g（x），f′（-x）=f′（x），
∴f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=1+g（2015）+f′（2015）+1-g（2015）-f′（2015）=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了导数的应用和函数的奇偶性，关键是构造函数设f（x）=1+g（x），属于中档题．
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