Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，如果存在a_k使得“a_k＜a_k-1，且a_k＜a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个“谷值”．
①若a_n=n²-10n+1，则{a_n}的“谷值”为

 

；
②若a_n=

-2n2-tn ， n＜3 -tn-8， n≥3

且{a_n}存在“谷值”，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：①对数列的通项配方，即可得到最小值，即“谷值”；
②求出a₁=-2-t，a₂=-8-2t，a₃=-8-3t．当n≥3，t＞0递减，t＜0递增，分别讨论a）t=-6，b）t＜-6，c）-6＜t＜0，是否存在“谷值”，注意运用单调性，即可．

解答： 解：①a_n=n²-10n+1=（n-5）²-24，∴对于任意的n∈N都有，a_n≥-24，
∴{a_n}的“谷值”为-24；
②当n＜3时，有a₁=-2-t，a₂=-8-2t，
当n≥3，t＞0递减，t＜0递增，且a₃=-8-3t．
若t=0时，a₁＞a₂=a₃=a₄=…，则不存在“谷值”；
若t＞0时，a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞…，则不存在“谷值”；
若t＜0时，a）t=-6，a₁=a₂＜a₃＜a₄＜…，则不存在“谷值”；
b）t＜-6，a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜…，则不存在“谷值”；
c）-6＜t＜0，a₁＞a₂＜a₃＜a₄＜…，存在“谷值”且为a₂．
综上，t的取值范围是（-6，0）．
故答案为：-24，（-6，0）．

点评：本题考查新定义及运用，考查数列的单调性和运用，正确理解新定义是迅速解题的关键，是一道中档题．