题目内容
16．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若△ABF1周长为4$\sqrt{2}$（1）求椭圆C的标准方程
（2）P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，若P点的坐标为（0，-2），$\frac{1}{2}$≤$\frac{|{F}_{2}A|}{|{F}_{2}B|}$≤1，求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围．
分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，4a=4$\sqrt{2}$，a2=b2+c2，解出即可得出．
（2）F2（0，-1）．设A（x1，y1），B（x2，y2）.$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，$\frac{1}{2}≤λ≤$1．-x1=λx2．由于四边形PAQB是平行四边形，可得$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x1+x2，y1+y2+4）．
设直线AB的方程为：y=kx-1，与椭圆方程联立化为：（k2+2）x2-2kx-1=0，利用根与系数的关系可得：k2=$\frac{-2（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}-6λ+1}$，可得：k2∈$[0，\frac{2}{7}]$．由于$|\overrightarrow{PQ}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}+4）^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{28{k}^{2}+48}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$，令k2=t∈$[0，\frac{2}{7}]$，f（t）=$\frac{7t+12}{{t}^{2}+4t+4}$，再利用导数研究函数的单调性即可得出．
解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，4a=4$\sqrt{2}$，a2=b2+c2，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
（2）F2（0，-1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）.$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$λ\overrightarrow{{F}_{2}B}$，$\frac{1}{2}≤λ≤$1．
-x1=λx2．
∵四边形PAQB是平行四边形，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x1+x2，y1+y2+4）．
设直线AB的方程为：y=kx-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（k2+2）x2-2kx-1=0，
∴x1+x2=$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x1x2=$\frac{-1}{{k}^{2}+2}$，-x1=λx2．
可得：k2=$\frac{-2（1-λ）^{2}}{{λ}^{2}-6λ+1}$=$\frac{2}{\frac{4}{λ+\frac{1}{λ}-2}-1}$．
λ=1时，k=0．
$λ∈[\frac{1}{2}，1）$时，k2∈$（0，\frac{2}{7}]$．
综上可得：k2∈$[0，\frac{2}{7}]$．
∴y1+y2=kx1-1+kx2-1=k（x1+x2）-2，
∴$|\overrightarrow{PQ}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}+4）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+[k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2]^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{2k}{{k}^{2}+2}）^{2}+（\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}+2）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{16{k}^{4}+36{k}^{2}+16}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$=$\sqrt{16-\frac{28{k}^{2}+48}{{k}^{4}+4{k}^{2}+4}}$，
令k2=t∈$[0，\frac{2}{7}]$，f（t）=$\frac{7t+12}{{t}^{2}+4t+4}$，
f′（t）=$\frac{7（{t}^{2}+4t+4）-（7t+12）（2t+4）}{（t+2）^{4}}$=$\frac{-（7{t}^{2}+24t+20）}{（t+2）^{4}}$＜0，
∴函数f（t）在t∈$[0，\frac{2}{7}]$上单调递减，∴f（t）∈$[\frac{343}{128}，3]$．
∴$|\overrightarrow{PQ}|$∈$[2，\frac{13\sqrt{2}}{8}]$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
名校课堂系列答案| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | 4 | C． | $±2\sqrt{2}$ | D． | ±4 |
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