Question

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.
（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等差数列；
（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；
（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：
.

Answer 1

（1）答案不唯一.如项子列，，；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据题中的定义写出一个项子列即可；（2）对是否等于进行分类讨论，结合条件“为等差数列”，利用公差推出矛盾，从而得到，再由结合证明；
（3）注意到数列各项均为有理数，从而得到数列的公比为正有理数，从而存在、使得，并对是否等于进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明.
试题解析：（1）答案不唯一.如项子列、、；
（2）由题意，知，
所以.
若，
由为的一个项子列，得，
所以.
因为，，
所以，即.
这与矛盾.
所以.
所以，
因为，，
所以，即，
综上，得；
（3）由题意，设的公比为，
则.
因为为的一个项子列，
所以为正有理数，且，.
设，且、互质，）.
当时，
因为，
所以
，
，
所以.
当时，
因为是中的项，且、互质，
所以，
所以
.
因为，、，
所以.
综上，.