题目内容

已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是 $数学公式$ ， $数学公式$ ，则OB与平面ABC所成的角是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由题意，球的半径为1，根据A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得∠AOB= $\text{[math]}$ ，∠AOC= $\text{[math]}$ ，∠BOC= $\text{[math]}$ ，从而可求AB=AC= $\text{[math]}$ ，BC=1，可求 $\text{[math]}$ ，利用等体积法求出O到平面ABC的距离，即可求得结论．
解答：由题意，∵球O的表面积为4π，
∴球的半径为1，
∵A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴∠AOB= $\text{[math]}$ ，∠AOC= $\text{[math]}$ ，∠BOC= $\text{[math]}$ ，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC= $\text{[math]}$ ，BC=1．
∴ $\text{[math]}$
设h为O到平面ABC的距离，则
∵S_△ABC= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴h= $\text{[math]}$
∴OA与平面ABC所成角的正弦值为 $\text{[math]}$
∴OB与平面ABC所成的角是 $\text{[math]}$
故选A．
点评：本题考查线面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是利用等体积求出点到面的距离，属于中档题．