Question

已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是

π

2

，

π

2

，

π

3

，则OB与平面ABC所成的角是（　　）

• A．arcsin

  21

  7

• B．arcsin

  2 7

  7

• C．arccos

  7

  7

• D．arccos

  21

  7

Answer 1

分析：由题意，球的半径为1，根据A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是

π

2

，

π

2

，

π

3

，可得∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∠BOC=

π

2

，

π

3

，从而可求AB=AC=

2

，BC=1，可求VA-OBC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

，利用等体积法求出O到平面ABC的距离，即可求得结论．

解答：解：由题意，∵球O的表面积为4π，
∴球的半径为1，
∵A与B、A与C，B与C两点的球面距离分别是

π

2

，

π

2

，

π

3

，
∴∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∠BOC=

π

3

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=

2

，BC=1．
∴VA-OBC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

设h为O到平面ABC的距离，则
∵S_△ABC=

1

2

×1×

2- 1 4

=

7

4

∴VA-OBC=VO-ABC=

1

3

×

7

4

h=

3

12

∴h=

21

7

∴OA与平面ABC所成角的正弦值为

21

7

∴OB与平面ABC所成的角是arcsin

21

7

故选A．

点评：本题考查线面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是利用等体积求出点到面的距离，属于中档题．