Question

（2012•甘肃一模）（理科）已知球O的表面积为4π，A，B，C三点都在球面上，且A与B、A与C的球面距离均为

π

2

，|BC|=

3

，则球心O到平面ABC的距离为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  3

• C．

  5

  5

• D．

  2 5

  5

Answer 1

分析：先确定|AB|、|AC|，AO⊥平面BOC，再取BC的中点D，连接OD，AD，过O作OO′⊥AD，则OO′⊥平面ABC，OO′为球心O到平面ABC的距离，利用等面积可求．

解答：解：∵球O的表面积为4π，∴球O的半径为1
∵A与B、A与C的球面距离均为

π

2

，
∴|AB|=

2

，|AC|=

2

，∠AOB=∠AOC=

π

2

∴AO⊥平面BOC
取BC的中点D，连接OD，AD，过O作OO′⊥AD，则OO′⊥平面ABC，OO′为球心O到平面ABC的距离
在直角△AOD中，AO=1，OD=

1

2

，∴AD=

5

2

根据等面积可得1×

1

2

=

5

2

×OO′
∴OO′=

5

5

故选C．

点评：本题考查球面距离，考查点到平面距离，考查学生的计算能力，属于中档题．