Question

已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且任意两点间的球面距离为

π

2

，则OA与平面ABC所成角的正切值是

2

2

．

Answer 1

分析：由已知任意两点间的球面距离为

π

2

，我们可以得到AO⊥面BOC，求出三棱锥O-ABC的体积及三角形ABC的面积，即可求出球心O到平面ABC的距离，进而可求OA与平面ABC所成角的正弦值，由此可得结论．

解答：解：由题意，∵球O的表面积为4π，
∴球的半径为1，
∵任意两点间的球面距离为

π

2

，
∴∠AOC=

π

2

，∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=BC=

2

．
∵VA-OBC=

1

3

S△OBC|AO|=

1

6

又 VA-OBC=

1

3

S△ABC•h（h为O到平面ABC的距离）
∵S△ABC=

3

2

∴h=

3

3

∴OA与平面ABC所成角的正弦值为

3

3

∴OA与平面ABC所成角的正切值为

2

2

故答案为

2

2

点评：本题以球为载体，考查球面距离，考查线面角，有一定的综合性．