Question

如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠OPQ=90°，OP=2

2

，点M在线段PQ上．
（1）若OM=

5

，求PM的长；
（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM²=OP²+MP²-2•OP•MPcos45°，解得MP即可．
（2）∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．

解答：解：（1）在△OPQ中，∠OPQ=45°，OM=

5

，OP=2

2

，
由余弦定理得，OM²=OP²+MP²-2•OP•MPcos45°，
得MP²-4MP+3=0，解得MP=1或MP=3．…6
（2）设∠POM=α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理，得

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
所以OM=

OPsin45°

sin(45°+α)

，同理ON=

OPsin45°

sin(75°+α)

 …8′
S_△OMN=

1

2

×OM×ON×sin∠MON=

1

4

×

OP2sin245°

sin(45°+α)sin(75°+α)

 …10
=

1

sin(45°+α)sin(75°+α)

=

1

sin(45°+α)[ 3 2 sin(45°+α)+ 1 2 cos(45°+α)]

═

1

3 2 sin2(45°+α)+ 1 2 sin(45°+α)cos(45°+α)]

=

1

3 4 + 3 4 sin2α+ 1 4 cos2α

=

1

3 4 + 1 2 sin(2α+30°)

 …14
因为0°≤α≤60°，30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时△OMN的面积取到最小值．
即∠POM=30°时，△OMN的面积的最小值为8-4

3

．…16

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．