Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则

AN

•

MP

的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．

解答：解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则A（1，0），B（0，1），
设P（x，y），
则

x≥0 y≥0 x+y-1≤0

且

AN

=（-1，

1

2

），

MP

=（x-

1

2

，y-

1

2

）

AN

•

MP

=-x+

1

2

y+

1

4

，
令t=-x+

1

2

y+

1

4

，结合线性规划知识，
则y=2x+2t-

1

2

当直线t=-x+

1

2

y+

1

4

经过点A（1，0）时，

AN

•

MP

有最小值，
将（1，0）代入得t=-

3

4

，
当直线t=-x+

1

2

y+

1

4

经过点B时，

AN

•

MP

有最大值，
将（0，1）代入得t=

3

4

，
故答案为[-

3

4

，

3

4

]．

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．