Question

(北京海淀模拟)设函数f(x)的定义域为R，若对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(1)试判断函数和中哪些是Ω函数，并说明理由；

(2)若函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数，均有，求证：函数f(x)一定是Ω函数；

(3)求证：若a＞1，则函数是Ω函数．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)∵|x||sin x|≤|x|， 是Ω函数； ∵， ∴不满足|f(0)|≤|0|， ∴不是Ω函数； ∵当x=0时，显然符合条件；当x≠0时，， ∴是Ω函数． (2)∵函数y=f(x)是定义在R的奇函数， ∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0． ∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|， ∴函数f(x)一定是Ω函数． (3)设F(x)=f(x)－x，则． ①当x＞0时，∵a＞1， ∴， 当x=0时，， ∴当x≥0时，． ∴F(x)在[0，＋∞)上是减函数． F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0， ∴F(x)=f(x)－x≤0． ∵x＞0时，， ∴函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)≥f(0)=0． ∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|． ②当x＜0时，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|， 显然f(x)为偶函数， ∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|， ∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，则函数f(x)一定是Ω函数．