Question

(2007北京崇文模拟)如果函数f(x)在区间D上有定义，且对任意都有，则称函数f(x)是区间D上的“凹函数”．

(1)已知，决断f(x)是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(2)对于(1)中的函数f(x)有下列性质：“若[a，b]，则存在使得”成立．利用这个性质证明唯一；

(3)设A、B、C是函数图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)函数f(x)是凹函数，证明如下： 设，，且，则 ． ∵ ， ，且 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，∴， ∴f(x)是凹函数． (2)假设，，且，使得 ，① ，② ①－②得， ∵b＞a，∴b－a≠0． ∴， ∵， 记， ∴． 是[a，b]上的单调增函数， ∴，这与矛盾，即是唯一的． (3)设，，，且，∵， ∴f(x)是xR上的单调减函数． ∴． ∵， ， ∴． ∵，，，， ∴，∴cosB＜0，∠B为钝角． 故△ABC为钝角三角形．