题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求证：方程 $数学公式$ 有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．

证明：令g（x）=f（x）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]=ax²+bx+c- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂），
因为△= $\text{[math]}$ =b²-4ac+2a[f（x₁）+f（x₂）]=b²-4ac+2a[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ ，
又x₁＜x₂，所以△＞0，
所以g（x）=0有两个不等实根，即方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根；
而g（x₁）=f（x₁）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]=- $\text{[math]}$ ，g（x₂）=f（x₂）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]= $\text{[math]}$ ，
∴g（x₁）•g（x₂）=- $\text{[math]}$ [f（x₂）-f（x₁）]²＜0．
再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x₁，x₂）内必有零点，即 f（x）- $\text{[math]}$ =0在区间（x₁，x₂）内必有实数根．
综上可得，方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．
分析：令g（x）=f（x）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]，可证得g（x）=0的判别式△＞0，再根据零点存在定理进行判断，证g（x₁）•g（x₂）＜0及g（x）图象连续，从而可知g（x）在区间（x₁，x₂）内必有零点，由此即可得到结论．
点评：本题考查根的存在性及根个数的判断、二次函数的性质，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．