Question

9．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到$bm=\frac{bc}{2}$，从而得到m=$\frac{c}{2}$，这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c=$2\sqrt{3}$，从而有m=$\sqrt{3}$，然后进行数量积的计算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设AD=m；

∵∠A=60°，∴由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$得：$bm=\frac{bc}{2}$；
∴$m=\frac{c}{2}$；
又BD=3，∴在△ABD中由余弦定理得：
$9=\frac{{c}^{2}}{4}+{c}^{2}-\frac{{c}^{2}}{2}$；
∴$c=2\sqrt{3}$，m=$\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}=mc•cos60°=\sqrt{3}•2\sqrt{3}•\frac{1}{2}=3$．
故选：C．

点评 考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及向量夹角的概念．