题目内容
【题目】如图所示，直三棱柱
中， 
， 
， 
，点
， 
分别是
的中点.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 
.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)连接
， 
,由中位线的性质可得： 
，利用线面平行的判断定理即可证得
平面
.
(Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系.设
，则
， 
， 
，据此可得平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，则
，求解方程可得
，利用线面角的向量求法可得
.
试题解析：
（Ⅰ）连接
， 
,则
且
为
的中点，
又
为
的中点， 
，
又
平面
， 
平面
，故
平面
.
（Ⅱ）因为
是直三棱柱，所以
平面
，得
.因为
， 
，
，故
.以
为原点，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
， 
， 
，
， 
， 
.
取平面
的一个法向量为
，
由
得
：令
，得
，
同理可得平面
的一个法向量为
，
二面角
的大小为
， 
，
解得
，得
，又
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
名校课堂系列答案
【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得： 
， 
， 
， 
，
，线性回归模型的残差平方和
，e8.0605≈3167，其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程
=
x+
（精确到0.1）；
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为
=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线
=
x+
的斜率和截距的最小二乘估计为
=
；相关指数R2=
．
