Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=f（-x），f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-3，-2]上是减函数，$\frac{π}{4}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（cosα）＞f（cosβ）
• C． f（tanα）＞f（tanβ）
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 首先判断函数f（x）为偶函数，将x换成x+1，可得f（x）的最小正周期为2，由周期性可得f（x）在[0，1]上为增函数．运用正弦函数和余弦函数的单调性，可得选项A错，B正确，再由f（x）在[1，2]上为递减，而1＜tanα＜tanβ，即可判断C．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，且f（x）=f（-x），
则f（x）为偶函数，
f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
则f（x）为周期为2的函数．
f（x）在[-3，-2]上是减函数，
即有f（x）在[-1，0]上是减函数，
即f（x）在[0，1]上为增函数．
由$\frac{π}{4}$＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinα＜sinβ＜1，
即有f（sinα）＜f（sinβ），故A错；
又0＜cosβ＜cosα＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有f（cosβ）＜f（cosα），故B正确．
又f（x）在[1，2]上为递减，
而1＜tanα＜tanβ，
则f（tanα），f（tanβ）不好判断．
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性、周期性的判断及运用，同时考查三角函数的图象和单调性的运用，属于中档题．