Question

【题目】已知函数().

（1）若,求函数的单调区间;

（2）当时,若函数在上的最大值和最小值的和为1,求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）

【解析】

（1）利用的导函数，求得的单调区间.

（2）利用的导函数，求得的单调区间，对分成，，三种情况进行分类讨论，结合在区间上最大值和最小的和为，求得实数的值.

（1）当a=3时,f(x)=2x3﹣3x2+1,x∈R,

∴f'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),

令f'(x)>0得,x<0或x>1;令f'(x)<0得,0<x<1,

∴函数f(x)的的单调增区间为(﹣∞,0)和(1,+∞),单调递减区间为(0,1),

（2）函数f(x)=2x3﹣ax2+1,a>0,

∴f'(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),

令f'(x)=0得,x=0或,

列表:

x	(﹣∞,0)	0	(0,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	﹣	0	+
f(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

①当0<a≤2时,0,

∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a≥1,f()=1,且0<f()<1,

∴f(x)max=f（1）=3﹣a,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴(3﹣a)+(﹣1﹣a)=1,

∴a,

②当2<a<3时,0,

∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f（1）=3﹣a,f()=1,且0<f()<1,0<f（1）<1,

∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合题意,舍去,

③当a≥3时,,

∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,

∴f(x)max=f(0)=1,

又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f（1）=3﹣a,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,

∴1+(﹣1﹣a)=1,

∴a=﹣1,不符合题意,舍去,

综上所述,若函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值的和为1,实数a的值为.