Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，是的两个零点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明见解析

【解析】

（1）先求函数的导数 ，分和两种情况讨论函数的单调性；

（2）根据（1）的结果可知，即，利用分析法，将需要证明想不等式转化为证明，只需证明，利用函数的单调性和零点存在性定理可证明，根据零点存在性定理和单调性证明.

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），且，

①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，

只需证明．

一方面∵a＞2e，∴，

∴，∴，

且f（x）在单调递增，故；

另一方面，令，（x＞0），

则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；

故，故g（x）≥0即时x∈（0，＋∞）恒成立，

令，

则，于是，

而，

故，且f（x）在单调递减，故；

综合上述，，即原不等式成立．