Question

【题目】设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．

（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；

（2）证明：f（x）．

Answer 1

【答案】（1）a＝5；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥2．．

（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），

当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，

这与x≥a＞0矛盾，故不成立，

当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x，

又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝5．

（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x| |x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，

∴| a|＝a22，当且仅当a时取等号，

故f（x）．