Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2

  ]
• B、（1，

  2

  ）
• C、[

  2

  ，+∞）
• D、（

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要使过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于等于直线的斜率，即

b

a

≤tan45°=1，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答： 解：要使过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的左支没有公共点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于等于直线的斜率，
即

b

a

≤tan45°=1，即b≤a
∴

c2-a2

≤a，
整理得c≤

2

a
∴e≤

2

∵双曲线中e＞1
∴e的范围是（1，

2

]．
故选A．

点评：本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．