Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处的切线的斜率为

3

3

，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出n=-

3

m．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x²+y²=c²，将A的坐标代入圆方程，算出点A的坐标，将此代入双曲线方程，并结合c²=a²+b²化简整理，再根据离心率公式整理得e⁴-8e²+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．

解答： 解：设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k=-

3

，即n=-

3

m…①
∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x²+y²=c²
∴将①代入圆方程，得m²+3m²=c²，解得m=-

c

2

，n=

3

2

c
将点A（-

c

2

，

3

2

c）代入双曲线方程，得

c2 4

a2

-

3 4 c2

b2

=1
化简得：

1

4

c²b²-

3

4

c²a²=a²b²，
∵c²=a²+b²
∴b²=c²-a²代入上式，化简整理得c⁴-8c²a²+4a⁴=0
两边都除以a⁴，整理得e⁴-8e²+4=0，解之得e²=4+2

3

或e²=4-2

3

∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．