Question

1．已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（I）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（ II）讨论函数f（x）的单调性；
（III）当a=l时，对?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤M恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²e^x，切点为（1，e），由f′（x）=（x²+2x）e^x，利用导数的向何意义能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）a=1时，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）内递增，f（x）在（-2，-1）内递减，推导出f（x）在[-3，0]上的最大值为f（0）=1，最小值为f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，由此能求出M的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²e^x，故f（1）=e，
∴切点为（1，e），
又f′（x）=（x²+2x）e^x，∴f′（1）=3e，
∴切线的斜率为k=3e，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）依题意有f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，
分以下三种情况讨论：
①当a＞$\frac{2}{3}$时，-2a＜a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）内递增，
f（x）在（-2a，a-2）内递减；
②当a＜$\frac{2}{3}$时，-2a＞a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）内递增，
f（x）在（a-2，-2a）内递减；
③当a=$\frac{2}{3}$时，-2a=a-2，f（x）在R上递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a=1时，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）内递增，
f（x）在（-2，-1）内递减，
又f（0）=1，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（-2）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴f（x）在[-3，0]上的最大值为f（0）=1，最小值为f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤1-$\frac{7}{{e}^{3}}$恒成立，
∴M的最小值为1-$\frac{7}{{e}^{3}}$．

点评 本题考查切线方程的求法，考查函数的单调性的讨论，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义、导数性质、讨论思想的合理运用．