Question

9．设函数f（x）=e^x-ax-2
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，$\frac{k-x}{x+1}$f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；
（2）运用参数分离可得k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，所以函数f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e^x-a＜0；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e^x-a＞0；
所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（2）由于a=1，$\frac{k-x}{x+1}{f^'}（x）＜1?（k-x）（{e^x}-1）＜x+1$，
∵x＞0，∴e^x-1＞0．
∴$k＜\frac{x+1}{{{e^x}-1}}+x$，
令$g（x）=\frac{x+1}{{{e^x}-1}}+x$，
∴k＜g（x）_min，${g^'}（x）=\frac{{-x{e^x}-1}}{{{{（{e^x}-1）}^2}}}+1=\frac{{{e^x}（{e^x}-x-2）}}{{{{（{e^x}-1）}^2}}}$
令h（x）=e^x-x-2，h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）单调递增，
且h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x₀，则x₀∈（1，2）
当x₀∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，当x₀∈（x₀，+∞）时，
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}-1}}+{x_0}$∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}-1}}+{x_0}$，
由${g^'}（{x_0}）=0⇒{e^{x_0}}={x_0}+2$，
∴g（x₀）=x₀+1∈（2，3），
又∵k＜g（x₀），
∴k的最大值为2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立思想的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．