Question

【题目】定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数.

（）若函数为二阶伸缩函数，且当时， ，求的值.

（）若为三阶伸缩函数，且当时， ，求证：函数在上无零点.

（）若函数为阶伸缩函数，且当时， 的取值范围是，求在上的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）当x∈（1，2]时， ，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．

（Ⅱ）当x∈（1，3]时， ，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．

（Ⅲ）当x∈（kn，kn+1]时， ，由此得到，当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）．

试题解析：

（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，

∴．

∵函数f（x）为二阶伸缩函数，

∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．

∴．

（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．

由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）

∵x∈（1，3]时，．

∴．

令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．

∴函数在（1，+∞）上无零点．

（Ⅲ） 由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），

且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．

∴当x∈（kn，kn+1]时，．

∵，所以．

∴当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn）．

当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，

则k（k≥2，k∈N*）使，

∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．

又，∴，即．

∵k≥2，

∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）．