Question

【题目】已知函数f（x）=x3+3x2-9x．

（I）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1）；（II）[1，+）．

【解析】试题分析：

(1)首先求得函数的导函数，然后利用导函数与原函数的关系可得f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1）；

(2)利用题意分类讨论可得c的取值范围是[1，+）．

试题解析：

（I）f（x）=x3+3x2-9x的定义域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）

令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，

f（x）与f '（x）在（-，+）上的情况如下：

x	（+,-3）	-3	（-3,1）	1	（1,+ ）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

所以f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1），

（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中结论可知：

当c≥1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为f（1）=1+3-9 =-5；

当-4<c<1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值大于-5，不合题意舍，

因此，c的取值范围是[1，+）．