Question

13．已知函数f（x）=sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，x∈（0，2π）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=$\frac{π}{6}$处的切线方程
（Ⅱ）求f（x）在给定定义域内的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（$\frac{π}{6}$），f′（$\frac{π}{6}$）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$，f′（$\frac{π}{6}$）=0，
故切线方程是：y=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$；
（Ⅱ）f′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{11π}{6}$，
故f（x）在（0，$\frac{π}{6}$）递增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）递减，在（$\frac{11π}{6}$，2π）递增，
故f（x）_极大值=f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$，f（x）_极小值=f（$\frac{11π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{11\sqrt{3}π}{12}$．

点评 本题考查了切线方程，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．