Question

已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

an-1

2n

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和等比中项性质，求出数列的首项，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

an-1

2n

=

n

2n-1

，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （满分12分）
（1）解：∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，（2分）
又a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13）（4分）
解得：a₁=3，∴a_n=2n+1．（6分）
（2）解：∵b_n=

an-1

2n

=

n

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

（8分）
两式相减得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

（10分）
=2-

2

2n

-

n

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．