Question

9．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且$\frac{CF}{FB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{3}$．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．

Answer 1

分析 ①利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，
得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF∥GH，
根据两平行线确定一平面得出证明；
（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．

解答 证明：①如图所示，

空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC；
又$\frac{CF}{FB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF∥AC，
∴EF∥HG，
E、F、G、H四点共面；
②设EH与FG交于点P，
∵EH?平面ABD
∴P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，
且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．

点评 本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．