Question

在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，E、F分别在边BC、CD上，且四边形PECF为矩形，用向量方法证明：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．

Answer 1

分析：（1）以B为原点、BC为x轴建立如图直角坐标系，设正方形的边长为1，且BE=x，可得A、B、E、F、P各点的坐标，从而得到

AP

、

EF

的坐标，得到|

AP

|=

2x2-2x+1

且|

EF

|=

2x2-2x+1

，因此得到PA=EF；
（2）根据（1）中的数据，算出

AP

、

EF

的数量积为0，从而得到

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF．

解答：解：以B为原点、BC为x轴，建立直角坐标系，如图所示
设正方形的边长为1，且BE=x，可得B（0，0），E（x，0），F（1，x），
P（x，x），A（0，1）…2′
可得

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
（1）根据向量模的公式，得|

AP

|=

x2+(x-1)2

=

2x2-2x+1

，|

EF

|=

(1-x)2+x2

=

2x2-2x+1

∴|

AP

|=|

EF

|，即AP=EF…6′
（2）∵

AP

=(x，x-1)，

EF

=(1-x，x)
∴

AP

•

EF

=x(1-x)+(x-1)x=0
可得

AP

⊥

EF

，即AP⊥EF…10′

点评：本题在正方形ABCD中，证明线面线段AP与RF垂直且相等，着重考查了正方形的性质和利用向量知识证明平面几何结论的方法，属于中档题．