Question

如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

Answer 1

分析：（1）由题意可知三角形CEO₁为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO₁等于

2

R₁；同理得到AO₂等于

2

R₂，根据线段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R₂，代入两圆的面积之和的式子中消去R₂，得到关于R₁的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．

解答：解：（1）由图知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=

2

R1．
同理AO₂=

2

R2．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=

2

（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=(

2

+1)（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=

2

∴(

2

+1)（R₁+R₂）=

2

，
∴R₁+R₂=

2

2 +1

=2-

2

；

（2）两圆面积之和S=πR₁²+πR₂²
=π(R12+R22)=π[R12+(2-

2

-R1)2]
=π[2R12-2(2-

2

)R1+(2-

2

)2]
=2π[(R1-

2- 2

2

)2+

(2- 2 )2

4

]．
∴当R₁=

2- 2

2

，即R₁=R₂时S为最小．
因R₁的最大值为R₁=

1

2

，这时R₂为最小值，其值为R₂=(2-

2

)-

1

2

=

3

2

-

2

；
又当R₂=

1

2

时，R₁有最小值R₁=

3

2

-

2

，
故当R₁=

1

2

（此时R₂=

3

2

-

2

）或R₁=

3

2

-

2

（此时R₂=

1

2

）时，S有最大值．

点评：此题考查学生掌握正方形的性质，掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件，是一道多知识的综合题．