Question

设定义N^*上的函数f（n）=

n，(n为奇数) f( n 2 )(n为偶数)

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），那么a_n+1-a_n=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由题意，得a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），作差，得a_n+1-a_n，由函数解析式结合等差数列的求和公式计算可求得结果．

解答： 解：由函数f（n）=

n，(n为奇数) f( n 2 )(n为偶数)

，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），得
a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），
则有a_n+1-a_n=f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹）
=（2ⁿ+1）+（2^n-1+1）+（2ⁿ+3）+（2^n-2+1）+（2ⁿ+5）+（2^n-1+3）+…+1
=1+3+5+…+（2ⁿ+1）+…+（2ⁿ⁺¹-1）=

1

2

（1+2ⁿ⁺¹-1）•2ⁿ
=4ⁿ．
故答案为：4ⁿ．

点评：本题考查了分段函数与数列通项公式的综合应用，主要考查分段函数的意义和等差数列的求和公式，解题时要明确题目中函数解析式和数列通项公式表示的意义是什么．