Question

16．已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1；      ②y²=4x；        ③$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
④$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；      ⑤x²+y²-x-3=0
其中为“黄金曲线”的是②．（写出所有“黄金曲线”的序号）

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．

解答 解：∵点M（-5，0），N（5，0），点P使|PM|-|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，可得b²=c²-a²=5²-3²=16，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），
对于①，两方程联立，无解．则①错；
对于②，联立y²=4x和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），解得x=$\frac{9+3\sqrt{73}}{8}$成立，则②成立；
对于③，联立$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），无解，则③错；
对于④，联立$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），无解，则④错；
对于⑤，联立x²+y²-x-3=0和$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＞0），化简得25x²-9x-171=0，
解得根大于3，则⑤不成立．
∴为“黄金曲线”的是②．
故答案为：②．

点评 本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．