Question

数列{a_n}的首项为1，且满足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺）
（1）求a₂、a₃的值；
（2）若{a_n}为单调递增数列，求{a_n}的通项；
（3）设b_n=（-1）ⁿa_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_2n的最小值，并求S₈的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由首项为1，且满足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺），依次求出a₂、a₃的值；
（2）利用完全平方公式化简a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺），由{a_n}为单调递增数列、a_n≥1化简得：

an+1

-

an

=1，由等差数列的定义判断数列{

an

}是1为首项、公差的等差数列，由等差数列的通项公式求出{a_n}的通项；
（3）由（2）和题意求出b_n，代入S_2n利用平方差公式化简，由等差数列的前n项和公式化简，由二次函数的性质求出S_2n的最小值．

解答： 解：（1）因为首项为1，且满足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺）
所以a²₂+a²₁+1=2（a₂+a₁）+2a₂a₁，解得a₂=4或0（舍去），
a²₃+a²₂+1=2（a₃+a₂）+2a₃a₂，解得a₃=9或1（舍去），
则a₂、a₃的值是4、9；
（2）因为a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n，
所以（a_n+1+a_n）²+1=2（a_n+1+a_n）+4a_n+1a_n，
（a_n+1+a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=4a_n+1a_n，
（a_n+1+a_n-1）²=4a_n+1a_n，
因为a_n≥1，{a_n}为单调递增数列，
所以a_n+1+a_n-1=2

an+1an

，即a_n+1+a_n-2

an+1an

=1，
(

an+1

-

an

)2=1，则

an+1

-

an

=1，
所以数列{

an

}是1为首项、公差的等差数列，
则

an

=1+（n-1）=n，所以an=n2；
（3）由（2）得，b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn²，
所以S_2n=（-1+2²）+（-3²+4²）+…+[-（2n-1）²+（2n）²]
=（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n）
=

2n(1+2n)

2

=n（1+2n）=2n²+n，
所以S_2n的有最小值，当n=1时最小值是3．

点评：本题考查数列的递推公式的化简，等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，以由二次函数的性质求数列前n项和的最值，考查化简能力，分析问题、解决问题的能力．