Question

若函数f（x）=

1 x+a ，x＜0 ex-bx，x≥0

有且只有一个零点，则实数b=

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：首先可判断当x＜0时，函数f（x）一定没有零点，从而可判断出b＞1，从而求导确定函数的单调性，再求最值并令之为零即可．

解答： 解：∵当x＜0时，函数f（x）一定没有零点，
∴当x≥0时，f（x）=e^x-bx有且只有一个零点；
又∵y=e^x-x＞0在[0，+∞）上恒成立，
∴b＞1；
令f′（x）=e^x-b=0得，
x=lnb；
故f（x）=e^x-bx在[0，lnb]上是减函数，在[lnb，+∞）上是增函数，
故若使f（x）=e^x-bx有且只有一个零点，
则f（lnb）=b-blnb=0；
故lnb=1；
即b=e；
故答案为：e．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断与求法，属于基础题．