Question

15．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$（t为参数，0＜φ＜π，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直线参数方程中的参数t消去，即可得到直线l的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程化直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$，消去t得l的普通方程xcosφ-ysinφ+sinφ=0，
由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得y²=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为x²=4y；
（2）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t²sin²φ-4tcosφ-4=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosφ}{si{n}^{2}φ}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{-4}{si{n}^{2}φ}$．
∴|AB|=$|{t}_{1}-{t}_{2}|=\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$．
当φ=$\frac{π}{2}$时，即sin²φ=1，|AB|的最小值为4．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是基础题．