Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

19．（本小题满分14分）
解：（1）由椭圆定义得，         ……………………………1分
即， ………………………2分
∴，又，∴.            ……………………………3分
故椭圆的方程为                     …………………………….4分
（2）圆心到轴距离，圆的半径，
若圆与轴有两个不同交点，则有，即，
化简得.                         ……………………………6分
点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：
，解得：.          ……………………………8分
又，∴，即点横坐标的取值范围是.……9分
（3）存在定圆与圆恒相切，
其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4.    …………12分
∵由椭圆定义知，，即，
∴圆与圆恒内切.                           ……………………………14分

略