Question

【题目】已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，.若的最小值为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设点，利用向量的坐标运算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得椭圆C的标准方程；

（2）设，，，将直线与椭圆C联立，可得和，求出点O到直线l的距离，即可求出的面积S的表达式，利用基本不等式，求面积S的最大值，根据最大值的成立条件和前面求出的和，可得点M的轨迹方程，进而可得的范围，将转化为，利用导数研究单调性即可求出的取值范围.

解：（1）设点，由题意知，，则

，

当时，取得最小值，即，

，故椭圆C的标准方程为；

（2）设，，，则

由得，

，，

点O到直线l的距离，

，

S取得最大值，当且仅当即，①

此时，，

即，代入①式整理得，，

即点M的轨迹为椭圆，

且点，为椭圆的左、右焦点，即，

记，则，

从而，则，

令可得，即在T在单调递减，在单调递增，

且，，

故T的取值范围为.