Question

【题目】已知实数，设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．

注：为自然对数的底数．

Answer 1

【答案】（1）在内单调递减，在内单调递增；（2）

【解析】

(1)求导后取出极值点,再分,两种情况进行讨论即可.

(2)当时得出的一个取值范围,再讨论时的情况,再对时构造函数两边取对数进行分析论证时恒成立.

(1)由,解得．

①若,则当时,,故在内单调递增；

当时,,故在内单调递减．

②若,则当时,,故在内单调递增；

当时,,故在内单调递减．

综上所述,在内单调递减,在内单调递增．

(2),即．

令,得,则．

当时,不等式显然成立,

当时,两边取对数,即恒成立．

令函数,即在内恒成立．

由,得．

故当时,,单调递增；

当时,,单调递减.

因此．

令函数,其中,

则,得,

故当时,,单调递减；当时,,单调递增．

又,,

故当时,恒成立,因此恒成立,

即当时,对任意的,均有成立．