Question

16．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．
（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；
（Ⅱ）求二面角A-EC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN，取AP中点Q，连结QM，推导出QM∥CP，FN∥BM，由此能证明BM∥平面ECP₁．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EC-P的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN
∵矩形BCDE，∴F为BD中点，∵EB⊥平面ABC，
∴DC⊥平面ABC，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连结QM，
∵M是AC的中点，∴QM∥CP，又由AP=2PD，
∴QP=PD，∴DN=MN，∴FN∥BM，
又∵FN?平面ECP，而BN?平面ECP，
∴BM∥平面ECP₁．
解：（Ⅱ）如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），P（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，-\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b-\frac{4}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=-\frac{1}{3}a-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{9}$，
∴二面角A-EC-P的余弦值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．