Question

1．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，AA₁=6，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则AC₁的长为（　　）

• A． $8\sqrt{2}$
• B． 46
• C． $2\sqrt{23}$
• D． 32

Answer 1

分析 画出图形，将$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，两边平方求值，然后开方求线段长度．

解答 解：如图因为$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
并且AB=2，AD=4，AA₁=6，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
所以$|\overrightarrow{A{C}_{1}}{|}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{A{D}^{\;}}}^{2}+{\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$$+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}+2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=4+16+36+0+2×2×6×$\frac{1}{2}$+2×4×$6×\frac{1}{2}$=92，
所以AC₁=$\sqrt{92}=2\sqrt{23}$；
故选C．

点评 本题考查了利用平面向量求空间线段的长度；关键是所求向量化，利用向量表示．