Question

10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，为了得到函数f（x）的图象，只要将函数g（x）=2cos²$\frac{x}{2}-2{sin^2}\frac{x}{2}$（x∈R）图象上所有的点（　　）

• A． 向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍；纵坐标不变
• C． 向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再把得所各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍；纵坐标不变
• D． 向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

Answer 1

分析 有最值求得A，由周期求得ω，由特殊点的坐标求得φ的值，可得函数f（x）的解析式．在利用三角恒等变换化简g（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：由题意可得A=2，$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{5π}{12}$，求得ω=2．
根据sin[2×（-$\frac{5π}{12}$）+φ]=0，求得φ-$\frac{5π}{6}$=kπ，k∈Z，．
再根据|φ|＜$\frac{π}{2}$，故φ=-$\frac{π}{6}$，故函数f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
将函数g（x）=2cos²$\frac{x}{2}-2{sin^2}\frac{x}{2}$=cosx+1-2•$\frac{1-cosx}{2}$=2cosx 图象上所有的点向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得y=2cos（x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得各点的横坐标变为原来的2倍；纵坐标不变，可得函数f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角恒等变换，属于中档题．