Question

7．在△ABC中，$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$，$sin（A+B）=\frac{5}{13}$，则cosB的值为（　　）

• A． $-\frac{56}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$或$-\frac{16}{65}$
• C． $-\frac{16}{65}$
• D． $-\frac{56}{65}$或$\frac{16}{65}$

Answer 1

分析 由倍角公式求得tanA的值，从而得到A的取值范围和角A的正、余弦值；然后将cosB转化为cos（A+B-A）的形式，利用两角和与差的余弦函数公式进行解答即可．

解答 解：∵$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$＞0，
∴A∈（45°，90°）．
则$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{4}{3}$．
故sinA=$\frac{4}{3}$cosA．
又sin²A+cos²A=1，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$，
又∵$sin（A+B）=\frac{5}{13}$＜$\frac{1}{2}$，
∴A+B∈（0°，30°）∪（150°，180°），
∵A＞45°，B＞0°，
∴A+B∈（150°，180°）
则cos（A+B）=-$\frac{12}{13}$＜0，
∴cosB=cos（A+B-A）=cos（A+B）cosA+sin（A+B）sinA=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的定义域，两角和与差的余弦函数以及三角函数的化简求值，属于基础题．