Question

5．（1）平面内到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗圆．设A（m，0），B（2m，0）（m≠0），动点M（x，y）到点A、B的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求证动点M的轨迹是一阿波罗圆．
（2）设直线t（x-2）-y=0所过定点为P，对（1）M的轨迹在m=1时，过定点P作动直线l交M的轨迹于C，D两点．求△COD的面积最大时所对应的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用两点之间的距离公式可得$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，将上式化简即可证明．
（2）由直线t（x-2）-y=0可知：其所过定点为P（2，0）．依题意可设l的方程为y=k（x-2），m=1时，圆的方程为x²+y²=2，此时要△COD的面积最大，则需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 （1）证明：由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，将上式化简得x²+y²=2m²，
∴M是以原点为圆心，半径为$\sqrt{2}$|m|的圆，故结论成立．
（2）解：由直线t（x-2）-y=0可知：其所过定点为（2，0），即P（2，0）．
依题意可设l的方程为y=k（x-2），m=1时，圆的方程为x²+y²=2，
此时要△COD的面积最大，则需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．
从而O到直线l的距离为1＜由1=$\frac{|0-0-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．

点评 本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆的相交弦长问题问题、三角形面积、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．