Question

10．已知动点P到直线l：x=-1的距离等于它到圆C：x²+y²-4x+1=0的切线长（P到切点的距离），记动点P的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），则|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为my=x-2，则直线CQ的方程为y=-m（x-2），将my=x-2代入y²=6x，得：y²-6my-12=0，由此利用韦达定理、两点间距离公式能求出$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得圆心为C（2，0），半径r=$\sqrt{3}$，
设P（x，y，），∵动点P到直线l：x=-1的距离等于
它到圆C：x²+y²-4x+1=0的切线长（P到切点的距离），
∴|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，整理，得y²=6x，
∴曲线E的方程为y²=6x．
（Ⅱ）设直线AB的方程为my=x-2，
则直线CQ的方程为y=-m（x-2），
∴Q（-1，3m），
将my=x-2代入y²=6x，整理，得：y²-6my-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=6m，y₁y₂=-12，
∴D（3m²+2，3m），|QD|=3m²+3，
|AB|=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{（1+{m}^{2}）（3{m}^{2}+4）}$，
∴（$\frac{|QD|}{|AB|}$）²=$\frac{3{m}^{2}+3}{4（3{m}^{2}+4）}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3{m}^{2}+4}$）∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\frac{|QD|}{|AB|}$的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、两点间距离公式的合理运用．