已知非零向量$\overrightarrow a$.$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|.若函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow a$|x2+$\overrightarrow a$$\overrightarrow b$x+1在R上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|，若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow a$|x²+$\overrightarrow a$$\overrightarrow b$x+1在R上存在极值，则$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$夹角的取值范围是（　　）

A．

$[{0，\frac{π}{6}}）$

B．

$（{\frac{π}{3}，π}]$

C．

$（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$

D．

$[{\frac{π}{3}，π}]$

分析先求导数$f′（x）={x}^{2}+|\overrightarrow{a}|x+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，而根据f（x）在R上存在极值便有f′（x）=0有两个不同实数根，从而$△=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，这样即可得到cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＜\frac{1}{2}$，这样由余弦函数的图象便可得出$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的范围，即得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角的取值范围．

解答解：$f′（x）={x}^{2}+|\overrightarrow{a}|x+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∵f（x）在R上存在极值；
∴f′（x）=0有两个不同实数根；
∴$△=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$；
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＞0$，$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞＜\frac{|\overrightarrow{a}|}{4|\overrightarrow{b}|}=\frac{2|\overrightarrow{b}}{4|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}＜＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的取值范围为$（\frac{π}{3}，π]$．
故选B．

点评考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

萌齐小升初强化模拟训练系列答案

	A．	f（x）=8（x∈R）不是“可构造三角形函数”
	B．	“可构造三角形函数”一定是单调函数
	C．	f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（x∈R）是“可构造三角形函数”
	D．	若定义在R上的函数f（x）的值域是[$\sqrt{e}$，e]（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”

试题分类